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Logaritimo

Rebecca / October 2023 (427 Palavras, 3 Minutos)

Logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1 000 na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é 1 000 (1 000 = 10 × 10 × 10 = 10³). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1.

\[y = b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)\]

onde:

• $b$ é a base do logaritimo;
• $y$ é o logaritimando;
• $x$ é o proprio logartimo;
• Sendo $log_b(y)$ pronunciado como “o logaritmo de $y$ na base $b$”.

Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para resultar em uma certa potência.

Por esse motivo, para fazer operações com logaritmos é necessário conhecer as propriedades da potenciação.

Definição

A ideia dos logaritmos é reverter a operação de exponenciação, isto é, elevar um número a uma potência. A título de exemplo, a potência de três (ou o cubo) de 2 é 8, porque 8 é o produto dos três fatores de 2:

\[2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\]

Disso resulta que o logaritmo de 8 na base 2 é 3, ou seja: $log_2(8) = 3$

Quando a base de um logaritmo for omitida, significa que seu valor é igual a 10. Este tipo de logaritmo é chamado de logaritmo decimal.

Exemplo

1. $log_2(16) = 4$ visto que $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

2. $log_3(81) = x \Leftrightarrow 3^x = 81$ Podemos fatorar o número 81:

81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1


$\therefore 3^4$ Logo, x = 4

1. Logaritimos tambem podem ser negativos:

\[log_2(\frac{1}{2}) = -1\]

por que:

\[2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}\]

Propriedades

• O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, o resultado será igual a 0, ou seja, $log_a(1) = 0$. Por exemplo, $log_9(1) = 0$, pois $9^0 = 1$.
• Quando o logaritmando é igual a base, o logaritmo será igual a 1, assim, $log_a(a) = 1$. Por exemplo, $log_5(5) = 1$, pois $5^1= 5$
• Quando o logaritmo de a na base a possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, ou seja $log_a(a^m) = m,$ pois usando a definição $a^m = a^m$. Por exemplo, $log_3(3^5) = 5$.
• Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão iguais, ou seja, $log_a(b) = log_a(c) \Leftrightarrow b = c$.
• A potência de base a e expoente $log_a(b)$ será igual a b, ou seja $a^{log_a(b)} = b$.

Produto

O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números a serem multiplicados

\[\log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y)\]

ou seja

\[\log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5\]

Quociente

O logaritmo da razão é a diferença dos logaritmos

\[\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\]

ou seja

\[\log_2 (16) = \log_2(\frac{64}{4}) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4\]

Potência

O logaritmo da p-ésima potência de um número é p vezes o logaritmo do número em questão

\[\log_b(x^p) = p \log_b (x)\]

ou seja

\[\log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6\]

Mudança de base

Podemos mudar a base de um logaritmo usando a seguinte relação:

\[log_b(c) = \frac{log_a(c)}{log_a(b)}\]

Dado um número x e seu logaritmo $log_b(x)$, a base desconhecida b é dada por:

\[b = x^\frac{1}{\log_b(x)}\]