Matrizes
Rebecca, Júlia / May 2022 (1369 Palavras, 8 Minutos)
Matrizes
Toda matriz é do tipo MxN (lê-se “m” por “n”), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.
Propiedades das Matrizes
Cada elemento de uma matriz é chamado de $a{_i}$${_j}$, aonde “i” representa a linha em que o elemento se encontra enquanto “j” representa a coluna que se encontra o elemento.
Exemplo de matriz 2x3:
\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ a & b & c\end{bmatrix}\]O elemento $a{_2}$${_1}$ é a letra a na matriz acima.
Matriz Coluna
Matrizes colunas possuem apenas 1 coluna.
Exemplo de matriz coluna:
\[\begin{bmatrix}d \\\ e \\\ f \end{bmatrix}\]O elemento $a{_3}$${_1}$ é a letra f na matriz acima.
Matriz Linha
Matrizes linhas possuem apenas 1 linha.
Exemplo de matriz linha:
\[\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}\]O elemento $a{_1}$${_2}$ é a letra y na matriz acima.
Matriz Quadrada
Matrizes quadradas possuem o mesmo número de linhas e colunas ($m = n$). O número também determina a ordem da matriz.
Toda matriz quadrada possui a diagonal principal em que $a{_i}$=${_j}$ e uma diagonal secundária, em que a soma dos indices $a{_i}$+${_j}$ resultará sempre em uma constante igual para todos os elementos dessa diagonal.
Exemplo de matriz quadrada:
\[\begin{bmatrix}a11 & a22 & a13\\\ a21 & a22 & a23\\\ a31 & a32 & a33\end{bmatrix}\]Propiedades da matriz acima:
- O elemento $a{_2}$${_3}$ é $a23$.
- É uma matriz ordem 3.
- Sua diagonal principal é $a11 \rightarrow a22 \rightarrow a33$.
Observe que:
- $a11$, $a22$, $a33$ tem $i = j$.
- Sua diagonal secundária é $a13 \rightarrow a22 \rightarrow a31$.
Observe que:
- $a13 \rightarrow i = 1$ e $j = 3 \rightarrow 1+3=4$
- $a22 \rightarrow i = 2$ e $j = 2 \rightarrow 2+2=4$
- $a31 \rightarrow i = 3$ e $j = 1 \rightarrow 3+1=4$
Matriz Triangular
Uma matriz quadrada qualquer que possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos (0), é chamada de matriz diagonal superior, ou seja, se os valores acima da diagonal principal forem nulos, ela é chamada de matriz diagonal superior. Uma matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal é chamada de matriz diagonal inferior.
Uma matriz quadrada que tem os elementos acima e abaixo da diagonal principal nulos, é chamada de matriz diagonal. Quando isso ocorre e os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, dizemos que é uma matriz identidade, que geralmente é denotada por $I_{n}$, quem que $n$ é a ordem dessa matriz.
De uma forma simples: Se os elementos acima da diagonal superior são diferente de 0, ela é uma matriz triangular superior. Caso eles sejam 0, ela é uma matriz triangular inferior.
Ainda mais simples: Número com valor em baixo = inferior. Número com valor em cima = superior.
Exemplo de matriz triangular inferior:
\[\begin{bmatrix}9 & 0 & 0\\\ 3 & 7 & 0\\\ 5 & 2 & 4\end{bmatrix}\]Exemplo de uma matriz triangular superior:
\[\begin{bmatrix}1 & 3 & 9\\\ 0 & 7 & 6\\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}\]Exemplo de matriz identidade:
\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]A ordem essa matriz é $I_{3}$.
Matriz Inversa
Toda matriz invertivel pode ser obtida se multiplicar a matriz quadrada inicial pela matriz identidade de mesma ordem correspondente.
\(\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\\ 5 & 2 & 0\\\ 7 & 9 & 1\end{bmatrix}\) Matriz diagonal inferior.
\(\begin{bmatrix}1 & 3 & -4\\\ 0 & 2 & 1\\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}\) Matriz diagonal superior.
\(\begin{bmatrix}a11 & a12\\\ a21 & a22\\\ a31 & a32\end{bmatrix}\) = $\begin{bmatrix}7 & 12\\9 & 14\\11 & 16\end{bmatrix}$
$[a_{ij}]$ 2x3, tal que $a_{ij} = 2i + 5j$.
$a11 = 2 * 1 + 5 * 1 = 7$
$a21 = 2 * 2 + 5 * 1 = 9$
$a31 = 2 * 3 + 5 * 1 = 11$
$a12 = 2 * 1 + 5 * 2 = 12$
$a22 = 2 * 2 + 5 * 2 = 14$
$a23 = 2 * 2 + 5 * 3 = 16$
Operações com matrizes
Soma
O único requisito é que precisam ter o mesmo número de linhas e colunas.
\[\begin{bmatrix}4 & 3 & -5\\\ 0 & 1 & 3\\\ 2 & 1 & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\\ 0 & 3 & 1\\\ 5 & 1 & 1\end{bmatrix}\]Resulta na matriz…
\[\begin{bmatrix}5 & 5 & -4\\\ 0 & 4 & 4\\\ 7 & 2 & 1\end{bmatrix}\]Subtração
Também precisa que o número de colunas e linhas sejam iguais.
\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 3\\\ 2 & 1 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}2 & 1 & 5\\\ 7 & 2 & 1\end{bmatrix}\]Vai ter a matriz…
\[\begin{bmatrix}-1 & -1 & -2\\\ -1 & -1 & 0\end{bmatrix}\]Multiplicação
O número de colunas da matriz inicial precisa ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Veja o exemplo:
\[\begin{bmatrix}\color{blue}1 & 2 & 1\\\ \color{blue}1 & 0 & 1\\\ \color{blue}-2 & 1 & 1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}\color{blue}-1 \\ \color{blue}2 \\ \color{blue}1\end{bmatrix}\]O processo de multiplicar a matriz é diferente dos demais, veja a seguir:
\[\begin{bmatrix}1 * (-1) & + & 2 * 2 & + & 1 * 1\\\ 1 * (-1) & + & 0 * 2 & + & 1 * 1\\\ -2 * (-1) & + & 1 * 2 & + & 1 * 1\end{bmatrix}\]Que resulta na matriz…
\[\begin{bmatrix}4 \\ -2 \\ 5\end{bmatrix}\]Outro exemplo de multiplicação
Note que foi feito de forma direta
\[H = \begin{bmatrix}\color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}1\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2\end{bmatrix}\] \[J = \begin{bmatrix}\color{red}1 & 0 \\ \color{red}2 & 1 \\\color{red}1 & 1 \end{bmatrix}\] \[H * J = \begin{bmatrix}1+4+1 & \color{red}0+2+1 \\ 1+2+1 & \color{red}0+1+1\\0+2+2 & \color{red}0+1+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 3\\4 & 2\\4 & 3 \end{bmatrix}\]Matriz Transposta
Para transportar uma matriz, apenas reescrevemos cada uma de suas linhas como colunas, veja o exemplo:
\[P = \begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow P{^t} = \begin{bmatrix}2 & 3\\ 1 & 1 \\3 & 2\end{bmatrix}\]Determinantes
O determinante de uma matriz é um número associado a uma matriz quadrada, aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas. O cálculo do determinante de uma matriz qualquer é obtido através dos elementos que constituem essa mesma matriz.
Calculando matrizes 2x2
Use a diagonal principal e secundária:
\(\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{bmatrix} \downarrow\)
Sendo $-4 + (-1) = -4-1 = -5$.
Portanto podemos dizer que \(det(\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{vmatrix})\) é igual a -5.
Calculando 3x3
Usaremos o meteodo de Sarrus com a seguinte matriz:
\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & -2\end{bmatrix} \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|cc} 1&0&1&1&0\\ 2&3&-1&2&3\\ 1&4&-2&1&4 \end{array} \right]\]Espelhamos as duas primeiras colunas do lado da matriz, e então multiplicamos como na figura a seguir:
Primária ($D_p$): \((a_{11}*a_{22}*a_{33})+(a_{12}*a_{23}*a_{31})+(a_{13}*a_{21}*a_{32})\)
\((1*3*-2)+(0*-1*1)+(1*2*4)\)
\((-6)+0+8=2\)
Secundária ($D_s$): \((a_{13}*a_{22}*a_{31})+(a_{11}*a_{21}*a_{32})+(a_{12}*a_{21}*a_{33})\)
\((1*3*1)+(1*-1*4)+(0*2*-2)\)
\(3+(-4)+0=-1\)
Calcular a Diferença entre $D_p$ e $D_s$:
$det(A)=D_p-D_s$
$det(A)=2-(-1)$
$det(A)=3$
NOTE QUE OS SINAIS DAS DIAGONAIS SECUNDÁRIAS SÃO INVERTIDOS (SETAS EM AZUL).
Calculando 4x4 e superiores
Utilizaremos o teorema de Laplace. Selecionamos o elemento de uma coluna e depois a transformamos em uma matriz menor e calculamos com o meteodo de Sarrus, veja a seguir:
\[\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}\color{purple}1 & & \\ & 1 & 2 \\ & 0 & 1\end{bmatrix}\]O elemento em roxo é o que foi selecionado. Elimina-se os que estão na sua linha e coluna.
Então calculamos seu determinante: \(\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\) que é igual a 1, e aplicamos na formula de Laplace:
\(a_{11} = {\color{red}(-1)^{1+1}} * \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\) \(a_{11} ={\color{red}1^{2}} * 1\) \(a_{11} = {\color{red}1} * 1\) \(a_{11} = 1\)
Os itens em vermelho são da propria formula de Laplace
E fazemos isso para os outros elementos da coluna:
\[\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} & 4 & 5 \\ \color{purple}3 & & \\ & 0 & 1\end{bmatrix}\]Determinante:
\(a_{21} = {\color{red}(-1)^{2+1}} * \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\) \(a_{21} ={\color{red}(-1)^{3}} * 4\) \(a_{21} = {\color{red}(-1)} * -4\) \(a_{21} = -4\)
Próximo elemento:
\[\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} & 4 & 5 \\ & 1 & 2 \\ \color{purple}2 & & \end{bmatrix}\]Determinante:
\(a_{31} = {\color{red}(-1)^{3+1}} * \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 1 & 2\end{vmatrix}\) \(a_{31} ={\color{red}(-1)^{4}} * 2\) \(a_{31} = {\color{red}(-1)} * -2\) \(a_{31} = -2\)
E somando todos os resultados.. temos: $1 + (-4) + (-2) = -5$
Confirmando por Sarrus:
\[\begin{bmatrix}1 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{bmatrix} \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|cc} 1&4&5&1&4\\ 3&1&2&3&1\\ 2&0&1&2&0 \end{array} \right]\]
Resultando em: $-10 + 0 + (-12) + 1 + 16 + 0 = -10 + (-12) + 17 = -22 + 17 = -5$